Question

16．已知函數(shù)f（x）=（mx-1）e^x-x²．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為e-2，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若關于x的不等式f（x）＜-x²+mx-m有且僅有兩個整數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得m=1，進而由導數(shù)大于0，得增區(qū)間；導數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）由題意可得f（x）＜-x²+mx-m即為m（xe^x-x+1）＜e^x，討論x的符號，確定xe^x-x+1＞0，即有
m＜$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}-x+1}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}-x+1}$，求出導數(shù)，再令令h（x）=2-x-e^x，求得導數(shù)，判斷單調性和極值點，求得g（x）的單調區(qū)間，可得極值，結合條件可得不等式組，解不等式可得m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（mx-1）e^x-x²的導數(shù)為：
f′（x）=（m+mx-1）e^x-2x=me^x（1+x）-e^x-2x，
可得y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=2me-e-2=e-2，
解得m=1，即有f（x）=（x-1）e^x-x²的導數(shù)為f′（x）=x（e^x-2），
由f′（x）＞0可得x＞ln2或x＜0；由f′（x）＜0可得0＜x＜ln2．
可得f（x）的單調增區(qū)間（-∞，0），（ln2，+∞）；單調減區(qū)間為（0，ln2）；
（2）關于x的不等式f（x）＜-x²+mx-m即為m（xe^x-x+1）＜e^x，①
對于xe^x-x+1=x（e^x-1）+1，當x≥0時，e^x-1≥0，x（e^x-1）+1＞0．
當x＜0時，e^x-1＜0，x（e^x-1）+1＞0．
①即為m＜$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}-x+1}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}-x+1}$，
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（2-x-{e}^{x}）}{（x{e}^{x}-x+1）^{2}}$，令h（x）=2-x-e^x，h′（x）=-1-e^x＜0，
又h（0）=1＞0，h（1）=1-e＜0，h（x）在R上遞增，
可得x₀∈（0，1），使得h（x₀）=0，
則g（x）在（-∞，x₀）遞增，在（x₀，+∞）遞減，
g（x）在x₀處取得極大值，又g（0）=g（1）=1，
則關于x的不等式f（x）＜-x²+mx-m有且僅有兩個整數(shù)解，
只需m＜$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}-x+1}$有且僅有兩個整數(shù)解，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＜g（0）=1}\\{m＜g（1）=1}\\{m≥g（-1）=\frac{1}{2e-1}}\\{m≥g（2）=\frac{{e}^{2}}{2{e}^{2}-1}}\end{array}\right.$，解得$\frac{{e}^{2}}{2{e}^{2}-1}$≤m＜1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值，考查不等式存在整數(shù)解的求法，注意運用參數(shù)分離和構造函數(shù)法，以及運用單調性和零點存在定理，考查轉化思想和化簡整理的運算能力，屬于難題．