Question

11．已知實(shí)數(shù)m，n，t滿足m²+n²≤t² （t≠0），則$\frac{n}{m-3t}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將m²+n²≤t² 轉(zhuǎn)化為（$\frac{m}{t}$）²+（$\frac{n}{t}$）²≤1，令$\frac{m}{t}$=x，$\frac{n}{t}$=y，則有x²+y²≤1，設(shè)P（x，y），分析x²+y²≤1表示的幾何意義，進(jìn)而將$\frac{n}{m-3t}$變形分析可得其幾何意義，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若m²+n²≤t² （t≠0），
則有（$\frac{m}{t}$）²+（$\frac{n}{t}$）²≤1，
令$\frac{m}{t}$=x，$\frac{n}{t}$=y，則有x²+y²≤1，
設(shè)P（x，y），
則x²+y²≤1表示圓x²+y²=1的圓周以及圓的內(nèi)部部分，
而$\frac{n}{m-3t}$=$\frac{\frac{n}{t}}{\frac{m}{t}-3}$=$\frac{y}{x-3}$=$\frac{y-0}{x-3}$，為點(diǎn)（x，y）與（3，0）連線的斜率k，
設(shè)$\frac{y-0}{x-3}$=k，則y=k（x-3），分析可得當(dāng)k＞0且直線與圓相切時(shí)，k取得最大值，
此時(shí)有$\frac{|-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解可得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
則k的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化問題，將原問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系．