【題目】(2015·湖北)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.
如圖,在陽馬P-ABCD中,側(cè)棱底面,且,過棱的中點(diǎn),作于點(diǎn),連接
(1)證明:平面.試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫
出結(jié)論);若不是,說明理由;
(2)若面與面所成二面角的大小為 , 求的值.

【答案】
(1)

解答一:因?yàn)?/span>底面,所以,由底面為長方形,有,而,所以平面.而平面,所以.又因?yàn)?/span>,點(diǎn)的中點(diǎn),所以.而,所以平面.而平面,所以。又,,所以平面

.由平面平面,可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為.

解答二:如圖2,以D為原點(diǎn),射線分別為軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)

,,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以,,于是

,即.又已知,而,所以平面.因,,則,所以平面,由平面,平面,可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為.


(2)


【解析】(2)
解答一:如圖1,在面內(nèi),延長交于點(diǎn)G,則DG是平面DEF與平面的交線,由(Ⅰ)知,平面,所以.又因?yàn)?/span>底面,所以。而,所以平面.故是面與面所成二面角的平面角,設(shè),,有,在RtPDB中,由,得,則,解得.所以.
故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí),.

解答二:
平面,所以是平面的一個(gè)法向量;由(Ⅰ)知平面,所以是平面的一個(gè)法向量。若面與面所成二面角的大小為,則,解得.所以.故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí),.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并比較的大;
(2)計(jì)算 , , 由此推測計(jì)算的公式,并給出證明;
(3)令 , 數(shù)列 , 的前項(xiàng)和分別記為,, 證明:.

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(2)證明:當(dāng)x>1時(shí),;
(3)確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值,使得存在,當(dāng)時(shí),恒有>

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