Question

2．已知函數(shù)$f（x）=ln\frac{ex}{2}-f'（1）•x$，g（x）=$\frac{3}{2}$x-$\frac{2a}{x}$-f（x） （其中a∈R）．
（1）求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù) g（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），從而求出函數(shù)的表達式，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，即2x²-x+2a≥0在[2，+∞）上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∴$f'（x）=\frac{1}{x}-f'（1）$，∴f'（1）=1-f'（1）
∴$f'（1）=\frac{1}{2}$∴$f（x）=ln\frac{ex}{2}-\frac{1}{2}x$（2分），
∴$f（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}$（3分）
∴當(dāng)∴0＜x＜2時，∴f'（x）＞0；
當(dāng)∴x＞2時，∴f'（x）＜0． （5分）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），單調(diào)減區(qū)間為 （2，+∞）．（6分）
（2）$g（x）=2x-\frac{2a}{x}-ln\frac{ex}{2}$，
則 $g'（x）=2-\frac{1}{x}+\frac{2a}{x^2}=\frac{{2{x^2}-x+2a}}{x^2}$，（8分）
由題意可知 $\frac{{2{x^2}-x+2a}}{x^2}≥0$在[2，+∞）上恒成立，
即2x²-x+2a≥0在[2，+∞）上恒成立，（9分）
因函數(shù)u（x）=2x²-x+2a開口向上，且對稱軸為$x=\frac{1}{4}$，
故 u（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
因此只需使 u（2）≥0，解得 a≥-3；                   （11分）
易知當(dāng) a=-3時，g'（x）≥0且不恒為0．
故a≥-3．（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．