Question

2．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為一直角梯形，BC⊥CD，CD⊥AD，AD=2BC，PC⊥底面ABCD，E為PA的中點(diǎn)．
（1）證明：EB∥平面PCD； 
（2）若PC=CD，證明：BE⊥平面PDA．

Answer 1

分析 （1）取PD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，CF，證明：四邊形CBEF為平行四邊形，可得BE∥CF，即可證明EB∥平面PCD； 
（2）若PC=CD，證明CF⊥平面PAD，由（1）知BE∥CF，即可證明：BE⊥平面PDA．

解答 證明：（1）取PD中點(diǎn)F，連結(jié)EF，CF．
因?yàn)镋為PA中點(diǎn)，F(xiàn)為PD中點(diǎn)，
所以EF∥AD且AD=2EF，
又因?yàn)锽C⊥CD，AD⊥CD，
所以CB∥AD，
又由AD=2CB
所以EF∥CB，CB=EF，
所以四邊形CBEF為平行四邊形
所以BE∥CF，
又因?yàn)镃F?平面PCD，BE?平面PCD
所以BE∥平面PCD；
（2）F為PD中點(diǎn)，PC=CD，
所以CF⊥PD，
因?yàn)镻C⊥底面CBAD，
所以PC⊥AD，
又AD⊥CD，PC∩CD=C，
所以AD⊥平面PCD，
又CF?平面PCD，
所以AD⊥CF，
又PD∩AD=D，
所以CF⊥平面PAD，
由（1）知BE∥CF，
所以BE⊥平面PAD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．