Question

16．已知函數(shù)$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}（a∈R）$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，（不需證明）
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（0）=0，解方程可得a=1，檢驗(yàn)即可；
（2）由f（x）=1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$，可得函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）由題意可得f（t²+2）＞-f（t²-tk）=f（-t²+tk），2t²-tk+2＞0對(duì)任意t∈R恒成立，運(yùn)用判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意：$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（0）=0即$a-\frac{2}{{{2^0}+1}}=0$，
∴a=1，
當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
故a=1滿足題意…（5分）
（2）函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)…（7分）
（3）由（2）得f（t²+2）+f（t²-tk）＞0等價(jià)于f（t²+2）＞-f（t²-tk）=f（-t²+tk），
即t²+2＞-t²+tk∴2t²-tk+2＞0對(duì)任意t∈R恒成立，
∴△=k²-16＜0即-4＜k＜4，
故k的取值范圍為（-4，4）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要是奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查恒成立問題解法，注意運(yùn)用判別式法，考查化簡(jiǎn)整理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．