Question

6．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱．若對任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，求x²+y²的取值范圍是（　�。�

• A． （3，7）
• B． （9，25）
• C． （13，49）
• D． （9，49）

Answer 1

分析 由函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，結(jié)合圖象平移的知識可知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）對稱，從而可知函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，由f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，可把問題轉(zhuǎn)化為（x-3）²+（y-4）²＜4，借助于的有關(guān)知識可求．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）對稱，即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）
又∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立
∴（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y² ）恒成立
∴x²-6x+21＜8y-y²
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立
設(shè)M （x，y），M表示以（3，4）為圓心2為半徑的圓內(nèi)的任意一點，
則x²+y²表示在圓內(nèi)任取一點與原點的距離d的平方，因為原點到圓心的距離為5，
∴5-2＜$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＜5+2，
9＜x²+y²＜49．
故選D．

點評 本題考查了抽象函數(shù)不等式的運算，及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．