Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{e^x}{x}+a（{x-lnx}）$，在$x∈（{\frac{1}{2}，2}）$上有三個(gè)不同的極值點(diǎn)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-e，-\sqrt{e}}）$
• B． $（{-2\sqrt{e}，-e}）$
• C． $（{-\sqrt{e}，0}）$
• D． $[-e，-\frac{e}{2}）$

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為e^x+ax=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）有兩個(gè)不同的根，且x≠=e，令g（x）=a=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：函數(shù)的定義域?yàn)閤∈（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{（e}^{x}+ax）（x-1）}{{x}^{2}}$，
由條件可知f′（x）=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）上有三個(gè)不同的根，
即e^x+ax=0在x∈（$\frac{1}{2}$，2）有兩個(gè)不同的根，
令g（x）=a=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
x∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)單調(diào)遞增，x∈（1，2）時(shí)單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=-e，g（$\frac{1}{2}$）=-2$\sqrt{e}$，g（2）=-$\frac{1}{2}$e²，
∵-2$\sqrt{e}$-（-$\frac{1}{2}$e²）＞0，
∴-2$\sqrt{e}$＜a＜-e，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．