Question

19．已知$\overrightarrow{OA}=（{4，-3}）$，將其繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后又伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得向量$\overrightarrow{OA'}$，則$\overrightarrow{OA'}$=（-4+3$\sqrt{3}$，3+4$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形設(shè)∠x(chóng)OA=α，且α∈（0°，90°），則∠x(chóng)OA′=120°-α，求出sinα、cosα；再求cos（120°-α）、sin（120°-α）的值，再求x=|$\overrightarrow{OA′}$|cos（90°-∠x(chóng)OA′）和y=|$\overrightarrow{OA′}$|sin（90°-∠x(chóng)OA′）的值，即可得出$\overrightarrow{OA′}$的坐標(biāo)表示．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}=（{4，-3}）$，∴|$\overrightarrow{OA}$|=5，
將其繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后又伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得向量$\overrightarrow{OA'}$，
∴|$\overrightarrow{OA′}$|=2×5=10；
如圖所示，
設(shè)∠x(chóng)OA=α，且α∈（0°，90°），
則∠x(chóng)OA′=120°-α，
且sin（-α）=$\frac{-3}{5}$，∴sinα=$\frac{3}{5}$＞$\frac{1}{2}$，∴30°＜α＜45°；
∴cos（-α）=cosα=$\frac{4}{5}$；
∴cos（120°-α）=cos120°cosα+sin120°sinα=-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}$，
sin（120°-α）=sin120°cosα-cos120°sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$-（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$；
∴x=|$\overrightarrow{OA′}$|cos（90°-∠x(chóng)OA′）=10×$\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}$=-4+3$\sqrt{3}$，
y=|$\overrightarrow{OA′}$|sin（90°-∠x(chóng)OA′）=10×$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$=3+4$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{OA′}$=（-4+3$\sqrt{3}$，3+4$\sqrt{3}$）．
故答案為：$（{-4+3\sqrt{3}，3+4\sqrt{3}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本本題考查了平面向量的旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，是綜合題．