Question

12．某廠有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名維修工人進(jìn)行維修，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）若出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為x，求x的分布列；
（Ⅱ）該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%？
（Ⅲ）已知一名維修工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位維修工人1萬元的工資，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，就使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤，若該廠現(xiàn)有2名維修工人，求該廠每月獲利的均值．

Answer 1

分析 （I）利用二項(xiàng)分布列的性質(zhì)與計(jì)算公式即可得出．
（Ⅱ）設(shè)該廠有n名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障及時(shí)進(jìn)行維修”為x≤n，即x=0，x=1，…，x=n，這n+1個(gè)互斥事件的和事件，利用（I）的分布列即可得出．
（Ⅲ）設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為：18，13，8，利用（I）的分布列及其互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）一臺(tái)機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障可看作一次實(shí)驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為A，則事件A的概率為$\frac{1}{3}$，該廠有4臺(tái)機(jī)器就相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X，
故X～B$（4，\frac{1}{3}）$，$P（X=0）=C_4^0{（\frac{2}{3}）^4}=\frac{16}{81}$，$P（X=1）=C_4^0•\frac{1}{3}•{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{32}{81}$，$P（X=2）=C_4^0•{（\frac{1}{3}）^2}•{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{24}{81}$，$P（X=3）=C_4^0•{（\frac{1}{3}）^3}•\frac{2}{3}=\frac{8}{81}$，$P（X=4）=\frac{1}{81}$．
即X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

（Ⅱ）設(shè)該廠有n名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障及時(shí)進(jìn)行維修”為x≤n，即x=0，x=1，…，x=n，這n+1個(gè)互斥事件的和事件，
則

n	0	1	2	3	4
P（x≤n）	$\frac{16}{81}$	$\frac{48}{81}$	$\frac{72}{81}$	$\frac{80}{81}$	1

∵$\frac{72}{81}≤90%≤\frac{80}{81}$，
∴至少要3名工人，才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%．
（Ⅲ）設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為：18，13，8，$P（Y=18）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=\frac{72}{81}$，$P（Y=13）=P（X=3）=\frac{8}{81}$，$P（Y=8）=P（X=4）=\frac{1}{81}$，
即Y的分布列為：

Y	18	13	8
P	$\frac{72}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

則$E（Y）=18×\frac{72}{81}+13×\frac{8}{81}+8×\frac{1}{81}=\frac{1408}{81}$，
故該廠獲利的均值為$\frac{1408}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)分布列的概率計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望、互斥事件的概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．