Question

2．若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得弦長(zhǎng)為4，則$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$的最小值是（　�。�

• A． 9
• B． 4
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 求出圓心和半徑，由圓心到直線的距離等于零可得直線過(guò)圓心，即a+b=1；再利用基本不等式求得$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

解答 解：圓x²+y²+2x-4y+1=0，即圓（x+1）²+（y-2）² =4，
它表示以（-1，2）為圓心、半徑等于2的圓；
設(shè)弦心距為d，由題意可得 2²+d²=4，求得d=0，
可得直線經(jīng)過(guò)圓心，故有-2a-2b+2=0，
即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得
$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$ ）（a+b）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$≥5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}$時(shí)取等號(hào)，∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$的最小值是9．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式和基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．