Question

9．設函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）滿足f（1）+f（3）=2f（2），現給出如下結論：
①若f（x）是（0，1）上的增函數，則f（x）是（3，4）的增函數；
②若a•f（1）≥a•f（3），則f（x）有極值；
③對任意實數x₀，直線y=（c-12a）（x-x₀）+f（x₀）與曲線y=f（x）有唯一公共點．
其中正確結論的個數為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 化簡f（1）+f（3）=2f（2），得出b=-6a；
①根據f′（x）是二次函數，對稱軸為x=2，（0，1）和（3，4）關于對稱軸對稱；
當f（x）是（0，1）上的增函數時，得出f（x）是（3，4）的增函數；
②討論a＞0和a＜0時，f′（x）=0有實數根，判斷f（x）有極值；
③根據f″（x）=0得x=2，求出曲線過點（2，f（2））處的切線方程，即可得出結論正確．

解答 解：函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）滿足f（1）+f（3）=2f（2），
∴（a+b+c+d）+（27a+9b+3c+d）=2（8a+4b+2c+d），
化簡得6a+b=0，解得b=-6a；
對于①，f′（x）=3ax²+2bx+c=3ax²-12ax+c，是二次函數，對稱軸為x=-$\frac{-12a}{2×3a}$=2，
且（0，1）和（3，4）關于對稱軸對稱；
當f（x）是（0，1）上的增函數時，f′（x）＞0，
∴x∈（3，4）時，f′（x）＞0，∴f（x）是（3，4）的增函數，①正確；
對于②，當a＞0時，a•f（1）≥a•f（3）化為f（1）≥f（3），
即a+b+c+d≥27a+9b+3c+d，
∴26a+8b+2c≤0，
∴13a-24a+c≤0，即11a≥c；
∴△=（12a）²-12ac=12a（12a-c），
由a＞0，∴△=12a（12a-c）＞0，f（x）有極值；
當a＜0時，a•f（1）≥a•f（3）化為f（1）≤f（3），
即得11a≤c，
∴△=（12a）²-12ac=12a（12a-c）＞0，f（x）有極值；
∴②正確；
對于③，f″（x）=6ax-12a，令f″（x）=0，解得x=2；
又f′（2）=c-12a，
過點（2，f（2））作曲線的切線，
切線方程為y=（c-12a）（x-x₀）+f（x₀），
由切線與曲線y=f（x）有唯一公共點知③正確．
綜上，正確命題個數為3個．
故選：D．

點評 本題考查了函數與導數的綜合應用問題，是綜合性題目，是難題．