Question

1．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{6}t\end{array}$（t為參數(shù)），曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）．
（1）設(shè)l與C₁相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；
（2）若把曲線C₁上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲線C₂，設(shè)點(diǎn)P是曲線C₂上的一個(gè)動點(diǎn)，求它到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)l與C₁相交于A，B兩點(diǎn)，利用普通方程，求出A，B的坐標(biāo)，即可求|AB|；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，點(diǎn)P到直線l的距離是$\frac{{|{\frac{1}{2}cosθ-\frac{3}{2}sinθ-1}|}}{2}=\frac{{|{\frac{{\sqrt{10}}}{2}sin（θ-φ）+1}|}}{2}$，即可求它到直線l的距離的最大值．

解答 解：（1）l的普通方程$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-1）$，C₁的普通方程x²+y²=1，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-1）\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，
解得l與C₁的交點(diǎn)為A（1，0），$B（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，則$|{AB}|=\sqrt{3}$
（2）C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），故點(diǎn)P的坐標(biāo)是$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，
從而點(diǎn)P到直線l的距離是$\frac{{|{\frac{1}{2}cosθ-\frac{3}{2}sinθ-1}|}}{2}=\frac{{|{\frac{{\sqrt{10}}}{2}sin（θ-φ）+1}|}}{2}$，
由此當(dāng)sin（θ-φ）=1時(shí)，d取得最大值，且最大值為$\frac{{\sqrt{10}}}{4}+\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．