Question

18．點O是平面上一定點，A、B、C是平面上△ABC的三個頂點，∠B、∠C分別是邊AC、AB的對角，以下命題正確的是①②③④⑤（把你認(rèn)為正確的序號全部寫上）．
①動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，則△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中；
②動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）（λ＞0），則△ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點集合中；
③動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$）（λ＞0），則△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中；
④動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），則△ABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中；
⑤動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），則△ABC的外心一定在滿足條件的P點集合中．

Answer 1

分析 根據(jù)三角的重心垂心外心的內(nèi)心的有關(guān)性質(zhì)和向量的幾何意義分別判斷即可．

解答 解：對于①，∵動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$，
則點P是△ABC的重心，故①正確；
對于②，∵動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）（λ＞0），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）（λ＞0），
又$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$在∠BAC的平分線上，
∴$\overrightarrow{AP}$與∠BAC的平分線所在向量共線，
∴△ABC的內(nèi)心在滿足條件的P點集合中，②正確；
對于③，動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$）（λ＞0），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$），（λ＞0），
過點A作AD⊥BC，垂足為D，則|$\overrightarrow{AB}$|sinB=|$\overrightarrow{AC}$|sinC=AD，
$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{AD}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），向量$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$與BC邊的中線共線，
因此△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中，③正確；
對于④，動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）•$\overrightarrow{BC}$=λ（|$\overrightarrow{BC}$|-|$\overrightarrow{BC}$|）=0，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴△ABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中，④正確；
對于⑤，動點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ＞0），
設(shè)$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$=$\overrightarrow{OE}$，
則$\overrightarrow{EP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），
由④知（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{EP}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{EP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴P點的軌跡為過E的BC的垂線，即BC的中垂線；
∴△ABC的外心一定在滿足條件的P點集合，⑤正確．
故正確的命題是①②③④⑤．
故答案為：①②③④⑤．

點評 本題綜合考查了向量形式的三角形的外心、重心、內(nèi)心、垂心的性質(zhì)及其向量運算和數(shù)量積運算，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．