Question

17．過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＜0}）$的右焦點(diǎn)且垂于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|≥$\frac{5}{13}|{CD}$|，則雙曲線離心率的取值范圍為$[{\frac{13}{12}，+∞}）$．

Answer 1

分析 利用已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的不等式，然后求解離心率的范圍即可．

解答 解：易知$|{AB}|=\frac{{2{b^2}}}{a}$，因?yàn)闈u近線$y=±\frac{c}x$，所以 $|{CD}|=\frac{2bc}{a}$，
由$\frac{{2{b^2}}}{a}≥\frac{5}{13}•\frac{2bc}{a}$化簡(jiǎn)得$b≥\frac{5}{13}c$，即${b^2}≥\frac{25}{169}{c^2}$，
所以${c^2}-{a^2}≥\frac{25}{169}{c^2}$，從而${（{\frac{c}{a}}）^2}≥\frac{169}{144}$，
解得$\frac{c}{a}≥\frac{13}{12}$．
故答案為：$[{\frac{13}{12}，+∞}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．