Question

5．過雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}$=1（a＞0）的右頂點A作斜率為-1的直線，該直線與Γ的漸近線交于B、C兩點（點B在第一象限，點C在第二象限），則$\frac{|BC|}{|AB|}$=（　�。�

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． 1+$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 分別表示出直線l和兩個漸近線的交點，進而表示出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$，運用向量的模的公式計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}$=1（a＞0）的右頂點A（a，0），
直線l：y=-x+a與漸近線l₁：$\sqrt{3}$x-y=0交于B（$\frac{a}{1+\sqrt{3}}$，$\frac{\sqrt{3}a}{1+\sqrt{3}}$），
l與漸近線l₂：$\sqrt{3}$x+y=0交于C（$\frac{a}{1-\sqrt{3}}$，-$\frac{\sqrt{3}a}{1-\sqrt{3}}$），A（a，0），
可得$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{3}a}{1+\sqrt{3}}$，$\frac{\sqrt{3}a}{1+\sqrt{3}}$），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$a，$\sqrt{3}$a），
則$\frac{|BC|}{|AB|}$=$\frac{\sqrt{6}a}{\sqrt{\frac{6}{（1+\sqrt{3}）^{2}}}a}$=1+$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．