Question

6．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，過左焦點(diǎn)任作直線l，交橢圓的上半部分于點(diǎn)M，當(dāng)l的斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，|FM|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對稱，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)離心率及弦長構(gòu)造方程組，求得a，b．
（2）當(dāng)直線l的斜率k≠0時，可設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0）
聯(lián)立直線與橢圓方程，由△＞0得到k，m的關(guān)系式，再由對稱性求得k，m的關(guān)系式，此時k不存在．
當(dāng)直線l的斜率k=0時，A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀） （x₀＞0，y₀＞0）△AOB面積s=$\frac{1}{2}×2{y}_{0}×{x}_{0}={x}_{0}{y}_{0}$． 
由均值不等式求解．

解答 解：（1）依題意∴$M（2-c，\frac{2}{\sqrt{3}}$），∴$\frac{（2-c）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4}{3^{2}}=1$，
又∵$\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}，{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}$，解得a²=3，b²=2．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）依題意直線l不垂直x軸，
當(dāng)直線l的斜率k≠0時，可設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0）
則直線AB的方程為：y=-$\frac{1}{k}x+m$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得$（2+\frac{3}{{k}^{2}}）{x}^{2}-\frac{6m}{k}x+3{m}^{2}-6=0$．
$△=（-\frac{6m}{k}）^{2}-4（2+\frac{3}{{k}^{2}}）（3{m}^{2}-6）＞0$，⇒${m}^{2}-2-\frac{3}{{k}^{2}}＜0$…①．
設(shè)AB的中點(diǎn)為C，則x_C=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{3mk}{2{k}^{2}+3}，{y}_{C}=\frac{2{k}^{2}m}{2{k}^{2}+3}$．
點(diǎn)C在直線l上，∴$\frac{2{k}^{2}m}{2{k}^{2}+3}=k（\frac{3km}{2{k}^{2}+3}+1）$，⇒m=-2k-$\frac{3}{k}$…②
此時${m}^{2}-2-\frac{3}{{k}^{2}}=4{k}^{2}+\frac{6}{{k}^{2}}+4＞0$與①矛盾，故k≠0時不成立．
當(dāng)直線l的斜率k=0時，A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀） （x₀＞0，y₀＞0）
△AOB面積s=$\frac{1}{2}×2{y}_{0}×{x}_{0}={x}_{0}{y}_{0}$．
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1≥2\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}{x}_{0}{y}_{0}$，∴${x}_{0}{y}_{0}≤\frac{\sqrt{6}}{2}$．．
∴△AOB面積的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=\frac{1}{2}$時取等號．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，方程思想及運(yùn)算能力，屬于中檔題．