Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$（n∈N^*），b_n=$\frac{a_n}{2n+1}$，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和即可．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=$\frac{a_n}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了裂項(xiàng)求和和數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題