Question

19．已知${x_0}=\frac{π}{3}$是函數(shù)f（x）=msinωx-cosωx（m＞0）的一條對稱軸，且f（x）的最小正周期為π
（Ⅰ）求m值和f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)角A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，對應(yīng)邊分別為a，b，c，若f（B）=2，$b=\sqrt{3}$，求$a-\frac{c}{2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再根據(jù)f（x）的最小正周期為π，求出ω，${x_0}=\frac{π}{3}$是其中一條對稱軸，求出m的值，可得f（x）的解析式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)f（B）=2，求出角B的大小，利用正弦定理，$a-\frac{c}{2}$轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題解決即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=msinωx-cosωx（m＞0）
化簡可得：f（x）=$\sqrt{{m}^{2}+1}$sin（ωx+θ），其中tanθ=-$\frac{1}{m}$．
∵f（x）的最小正周期為π，即T=π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=2．
又∵${x_0}=\frac{π}{3}$是其中一條對稱軸，
∴2×$\frac{π}{3}$+θ=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z．
可得：θ=$kπ-\frac{π}{6}$，
則tan（kπ-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{m}$．
m＞0，
當(dāng)k=0時(shí)，tan$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{m}$
∴m=$\sqrt{3}$．
可是f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$2kπ-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）由f（B）=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）=2，
可得2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$得：$a-\frac{c}{2}$=2sinA-sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$
∴A-$\frac{π}{6}$∈（$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）
∴$a-\frac{c}{2}$的取值范圍是（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，求出f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．