【題目】某高速公路隧道設(shè)計(jì)為單向三車道，每條車道寬4米，要求通行車輛限高5米，隧道全長1.5千米，隧道的斷面輪廓線近似地看成半個(gè)橢圓形狀（如圖所示）.

（1）若最大拱高為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬至少是多少米？（結(jié)果取整數(shù)）

（2）如何設(shè)計(jì)拱高和拱寬，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最�。浚ńY(jié)果取整數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：，橢圓的面積公式為，其中，分別為橢圓的長半軸和短半軸長.

【答案】（1）此隧道設(shè)計(jì)的拱寬至少是22米（2）當(dāng)拱高為7米、拱寬為18米時(shí)，土方工程量最小

【解析】

（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，根據(jù)對稱性，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求解；

（2）由點(diǎn)在橢圓上或在橢圓內(nèi)，得，利用基本不等式，即可求出橢圓的面積的最小值，根據(jù)體積公式，即可求解.

（1）建立直角坐標(biāo)系如圖所示，

則點(diǎn)在橢圓上，

將與點(diǎn)代入橢圓方程，得，

此時(shí)，

因此隧道設(shè)計(jì)的拱寬至少是22米.

（2）由橢圓方程，得，

因?yàn)?/span>，即，，

由于隧道長度為1.5千米，故隧道的土方工程量，

當(dāng)取得最小值時(shí)，有且，得，，

此時(shí)，.

①若，此時(shí)，此時(shí)，

②若，此時(shí)，此時(shí)，

因?yàn)?/span>，故當(dāng)拱高為7米、拱寬為18米時(shí)，土方工程量最小.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某樂園按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每玩一次不超過小時(shí)收費(fèi)10元，超過小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)元（不足小時(shí)的部分按小時(shí)計(jì)算）．現(xiàn)有甲、乙二人參與但都不超過小時(shí)，甲、乙二人在每個(gè)時(shí)段離場是等可能的。為吸引顧客，每個(gè)顧客可以參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)。

(1) 用表示甲乙玩都不超過小時(shí)的付費(fèi)情況，求甲、乙二人付費(fèi)之和為44元的概率；

(2)抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是：顧客通過操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)[0，1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)，并按如右所示的程序框圖執(zhí)行．若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則該顧客中獎(jiǎng)；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)，求顧客中獎(jiǎng)的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】根據(jù)指令（，），機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作，先原地旋轉(zhuǎn)弧度（為正時(shí)，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，為負(fù)時(shí)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)），再朝其面對的方向沿直線行走距離r；

（1）現(xiàn)機(jī)器人在平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，且面對x軸正方向，試給機(jī)器人下一個(gè)指令，使其移動(dòng)到點(diǎn)；

（2）機(jī)器人在完成該指令后，發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)處有一小球，正向坐標(biāo)原點(diǎn)作勻速直線滾動(dòng)，已知小球滾動(dòng)的速度為機(jī)器人直線行走速度的2倍，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，問機(jī)器人最快可在何處截住小球？并給出機(jī)器人截住小球所需的指令？（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四面體A-BCD中，有兩條棱的長為，其余棱的長度都為1；

（1）若，且，求二面角A-BC-D的余弦值；

（2）求a的取值范圍，使得這樣的四面體是存在的；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)、是雙曲線： 的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若，是△的最小內(nèi)角，且，則雙曲線的漸近線方程是（ ）

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《鄭州市城市生活垃圾分類管理辦法》已經(jīng)政府常務(wù)會(huì)議審議通過，自2019年12月1日起施行.垃圾分類是對垃圾收集處置傳統(tǒng)方式的改革，是對垃圾進(jìn)行有效處置的一種科學(xué)管理方法.所謂垃圾其實(shí)都是資源，當(dāng)你放錯(cuò)了位置時(shí)它才是垃圾.某企業(yè)在市科研部門的支持下進(jìn)行研究，把廚余垃圾加工處理為一種可銷售的產(chǎn)品.已知該企業(yè)每周的加工處理量最少為75噸，最多為100噸.周加工處理成本y（元）與周加工處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每加工處理一噸廚余垃圾得到的產(chǎn)品售價(jià)為16元.

（Ⅰ）該企業(yè)每周加工處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸產(chǎn)品的平均加工處理成本最低？

（Ⅱ）該企業(yè)每周能否獲利？如果獲利，求出利潤的最大值；如果不獲利，則需要市政府至少補(bǔ)貼多少元才能使該企業(yè)不虧損？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，，證明：（i）；（ii）.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)為．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上的任意一點(diǎn)，分別作這兩條漸近線的平行線與這兩條漸近線得到四邊形，證明四邊形的面積是一個(gè)定值；

（3）設(shè)直線與在第一象限內(nèi)與漸近線所圍成的三角形繞著軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的方程為，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸相交于、兩點(diǎn)，且，如圖1.

（1）求圓的方程；

（2）如圖1，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，求證：射線平分；

（3）如圖2所示，點(diǎn)、是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且第三象限的動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，試問：四邊形的面積是否為定值？若是，請求出這個(gè)定值，若不是，請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案