Question

18．方程f（x）=x的解稱為函數(shù)f（x）的不動點，若f（x）=$\frac{ax}{x+1}$有唯一不動點，且數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$），則a₂₀₁₇=2017．

Answer 1

分析 由題意可知：x²-（a-1）x=0，則f（x）=$\frac{ax}{x+1}$有唯一不動點，求得a的值，由$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$），整理得a_n+1=a_n+1，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得a₂₀₁₇．

解答 解：由題意可知：$\frac{ax}{x+1}$=x，即x²-（a-1）x=0，
由f（x）=$\frac{ax}{x+1}$有唯一不動點，則a-1=0，即a=1，
f（x）=$\frac{x}{x+1}$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$），整理得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴a_n+1=a_n+1，
則a_n+1-a_n=1，數(shù)列{a_n}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
a₂₀₁₇=a₁+（n-1）d=2017，
故答案為：2017．

點評 本題考查函數(shù)的不動點的定義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)及通項公式，考查計算能力，屬于中檔題．