Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a，x＜0}\\{-\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得曲線y=f（x）在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• B． （2，+∞）
• C． （-2，$\frac{1}{4}$）
• D． （-∞，2）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)f（x）在點(diǎn)A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，令$\frac{1}{{x}_{2}}$=t，則a=$\frac{{t}^{4}-2{t}^{2}-8t+1}{4}$，構(gòu)造函數(shù)g（t）═$\frac{{t}^{4}-2{t}^{2}-8t+1}{4}$，t∈（0，1），即可得出a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+x+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+1；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，
當(dāng)x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時(shí)，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當(dāng)x₁＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（x₁，f（x₁））處的切線方程為
y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
當(dāng)x₂＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$（x-x₂）．
兩直線重合的充要條件是$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=2x₁+1，-$\frac{2}{{x}_{2}}$=-x₁²+a，
且x₁∈（-$\frac{1}{2}$，0）可得$\frac{1}{{x}_{2}}$∈（0，1），消去x₁得：
-（$\frac{\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}-1}{2}$）²+a=-$\frac{2}{{x}_{2}}$，令$\frac{1}{{x}_{2}}$=t，則a=$\frac{{t}^{4}-2{t}^{2}-8t+1}{4}$，
構(gòu)造函數(shù)g（t）═$\frac{{t}^{4}-2{t}^{2}-8t+1}{4}$，t∈（0，1），g′（t）=t³-t-2，
g′′（t）=3t²-1=0可得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（負(fù)值舍去），所以g′（t）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）單調(diào)遞減，
在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）單調(diào)遞增，又g′（0）＜0，g′（1）＜0，所以g′（x）＜0，
所以g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，所以g（x）∈（-2，$\frac{1}{4}$），即a∈（-2，$\frac{1}{4}$），
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理論證能力、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．