(12分) 已知橢圓C:
,其相應(yīng)于焦點
的準(zhǔn)線方程為
。
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知過點
傾斜角為
的直線分別交橢圓C于A、B兩點,求證:
;
(Ⅲ)過點
作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A、B和D、E,求
的最小值。
(Ⅰ)
(Ⅱ)見解析 (Ⅲ)
(Ⅰ)由題意得:
,∴
,∴橢圓C的方程為
。
(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)知,
是橢圓C的左焦點,離心率
,設(shè)
是橢圓的左準(zhǔn)線,則
:
作
于
,
于
,
于
軸交于點H(如圖),
∵點A在橢圓上,∴
=
=
∴
,同理
∴
。
方法二:當(dāng)
時,記
。則AB:
將其代入方程
得
設(shè)
,則
是此二次方程的兩個根。∴
,
①∵
,代入①式得
。②
當(dāng)
時,
仍滿足②式!
。
(Ⅲ)設(shè)直線AB傾斜角為
,由于DE⊥AB,由(Ⅱ)可得
,
,
當(dāng)
或
時,
取得最小值
。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
設(shè)動圓
過點
,且與定圓
內(nèi)切,動圓圓心
的軌跡記為曲線
,點
的坐標(biāo)為
.
(1)求曲線
的方程;
(2)若點
為曲線
上任意一點,求點
和點
的距離的最大值
;
(3)當(dāng)
時,在(2)的條件下,設(shè)
是坐標(biāo)原點,
是曲線
上橫坐標(biāo)為
的點,記△
的面積為
,以
為邊長的正方形的面積為
.若正數(shù)
滿足
,問
是否存在最小值?若存在,求出此最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分13分)已知
是橢圓
的兩個焦點,
為坐標(biāo)原點,點
在橢圓上,且
,⊙
是以
為直徑的圓,直線
:
與⊙
相切,并且與橢圓交于不同的兩點
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)
,且滿足
時,求弦長
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在直角坐標(biāo)系
中,已知橢圓
:
的離心率
,左、右兩個焦點分別為
、
。過右焦點
且與
軸垂直的直線與橢圓
相交
、
兩點,且
.
(1)求橢圓
的方程;
(2)設(shè)橢圓
的左頂點為
,下頂點為
,動點
滿足
,試求點
的軌跡方程,使點
關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓
上.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知中心在坐標(biāo)原點,焦點在
軸上的橢圓經(jīng)過點M(1,
),斜率為
的直線經(jīng)過橢圓的下頂點D和右焦點F,A、B為橢圓上不同于M的兩點。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線AB過點F且不與坐標(biāo)軸垂直,求線段AB的中垂線與
軸的交點的橫坐標(biāo)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,橢圓
經(jīng)過點
,離心率
。
(l)求橢圓
的方程;
(2)設(shè)直線
與橢圓
交于
兩點,點
關(guān)于
軸的對稱點為
與
不重合),則直線
與
軸是否交于一個定點?若是,請寫出定點坐標(biāo),并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓
(
)的離心率為
,且短軸長為2.
(1)求橢圓的方程;
(2)若與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線
與橢圓交于
兩點,
為坐標(biāo)原點,且
,
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
16.在△ABC中,∠A=15°,∠B=105°,若以A,B為焦點的橢圓經(jīng)過點C.則該橢圓的離心率為 .
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如圖,已知橢圓
的左、右準(zhǔn)線分別為
l1、
l2,且分別交
x軸于
C、
D兩點,從
l1上一點
A發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點
F被
x軸反射后與
l2交于點
B,若
,且
,則橢圓的離心率等于_____________.
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