Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥4-|x-3|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集為[0，2]，$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=a$（m＞0，n＞0），求mn的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)討論x的范圍，解各個(gè)區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；
（Ⅱ）求出a-1≤x≤a+1，根據(jù)f（x）≤1的解集為[0，2]，求出a的值，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出mn的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，不等式為|x-1|≥4-|x-3|，
即|x-1|+|x-3|≥4，
∵|x-1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-4，x≥3}\\{2，1≤x＜3}\\{4-2x，x＜1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{2x-4≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x＜3}\\{2≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{4-2x≥4}\end{array}\right.$，
∴解得x≤0，或x≥4，
故原不等式的解集為{x|x≤0，或x≥4}．…5分
（Ⅱ）f（x）≤1?|x-a|≤1
?-1≤x-a≤1?a-1≤x≤a+1，
∵f（x）≤1的解集為[0，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-1=0\\ a+1=2\end{array}\right.⇒a=1$，…7分
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1≥2\sqrt{\frac{1}{2mn}}（{m＞0\;\;，\;\;n＞0}）$，
∴mn≥2（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{m}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$即m=2，n=1時(shí)取等號(hào)），
∴mn的最小值為2．…10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類討論思想以及基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．