Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+（b-$\sqrt{1-{a}^{2}}$）x+$\frac{b+1}{a+2}$為偶函數(shù)，則該函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是0≤t≤$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)是偶函數(shù)，建立方程關(guān)系即可得到a，b的關(guān)系，然后利用換元法即可求出函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+（b-$\sqrt{1-{a}^{2}}$）x+$\frac{b+1}{a+2}$為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴b-$\sqrt{1-{a}^{2}}$=0
∴f（x）=x²+$\frac{\sqrt{1-{a}^{2}}+1}{a+2}$，
∴此函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{1-{a}^{2}}+1}{a+2}$，
設(shè)a=sinα（α∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，則$\frac{\sqrt{1-{a}^{2}}+1}{a+2}$=$\frac{cosα+1}{sinα+2}$=t
∴cosα-tsinα=2t-1=$\sqrt{1+{t}^{2}}$sin（α-θ）
∴|2t-1|≤$\sqrt{1+{t}^{2}}$，
∴0≤t≤$\frac{4}{3}$．
故答案為0≤t≤$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用換元法求函數(shù)的最值，綜合性較強(qiáng)．