Question

19．已知函數(shù)的定義域為R⁺，且對任意的正實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（8）=3，則$f（\frac{5}{2}）$=$\frac{15}{16}$．

Answer 1

分析 求出$f（1）=2f（\frac{1}{2}）$，f（2）=2f（1），從而f（8）=2f（4）=4f（2）=8f（1）=3，由此得到f（$\frac{5}{2}$）=f（2）+f（$\frac{1}{2}$），從而能求出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)的定義域為R⁺，且對任意的正實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴$f（1）=2f（\frac{1}{2}）$，f（2）=2f（1），
f（8）=2f（4）=4f（2）=8f（1）=3，
∴f（1）=$\frac{3}{8}$，f（2）=2f（1）=$\frac{3}{4}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}f（1）=\frac{3}{16}$，
∴f（$\frac{5}{2}$）=f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}$=$\frac{15}{16}$．
故答案為：$\frac{15}{16}$．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．