Question

8．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁是邊長(zhǎng)為4的菱形，BC⊥平面ACC₁A₁，CB=2，點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影D為棱AC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在平面A₁CB內(nèi)的射影為E．
（1）證明：E為A₁C的中點(diǎn)；
（2）求三棱錐A-B₁C₁C的體積．

Answer 1

分析 （1）證明平面A₁BC⊥平面A₁ACC₁，交線為A₁C，證明A₁ACC₁是菱形，推出AA₁=AC，得到E為A₁C的中點(diǎn)．
（2）由題意A₁D⊥平面ABC，利用等體積法轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （1）證明：因?yàn)锽C⊥面A₁ACC₁，BC⊆平面A₁BC，所以平面A₁BC⊥平面A₁ACC₁
交線為A₁C，BC⊥平面ACC₁A₁，所以平面ABC⊥平面A₁ACC₁，點(diǎn)A在平面A₁CB內(nèi)的射影為E．
可得AE⊥A₁C，即AE⊥平面A₁CB．又A₁ACC₁是菱形，AA₁=AC

所以E為A₁C的中點(diǎn)．…（6分）
（2）由題意A₁D⊥平面ABC，${A_1}D=2\sqrt{3}$，
${V_{A-{B_1}{C_1}C}}={V_{A-{B_1}BC}}={V_{{B_1}-ABC}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•4•2\sqrt{3}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直以及平面與平面垂直的判斷以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．