Question

13．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x+4）+f（x）+f（4）=0，函數(shù)f（x+3）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-3，0）對(duì)稱，則f（2016）=0．

Answer 1

分析 先利用函數(shù)y=f（x+3）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-3，0）對(duì)稱，得到函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，然后求出f（4）=0，最后利用函數(shù)的周期性求f（2016）的值．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x+3）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-3，0）對(duì)稱，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，即為奇函數(shù)；
令x=-2得，f（-2+4）+f（-2）=-f（4），即f（2）-f（2）=-f（4），解得f（4）=0．
所以f（x+4）+f（x）=0，即f（x+4）=-f（x）=f（-x），
所以f（x+8）=f（x），即函數(shù)的周期是8．
所以f（2016）=f（8×252）=f（0）=0；
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)奇偶性和周期性的定義和性質(zhì)．