Question

1．已知正四面體P-ABC的棱長為2，若M，N分別是PA，BC的中點(diǎn)，則三棱錐P-BMN的體積為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 連結(jié)AN，作MD⊥PN，交PN于D，三棱錐P-BMN的體積V_P-BMN=V_M-PBN=$\frac{1}{3}×{S}_{△PBN}×MD$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：連結(jié)AN，作MD⊥PN，交PN于D，
∵正四面體P-ABC的棱長為2，M，N分別是PA，BC的中點(diǎn)，
∴AN⊥BC，PN⊥BC，MN⊥AP，且AN=PN=$\sqrt{3}$，
∵AN∩PN=N，∴BC⊥平面PNA，
∵M(jìn)D?平面PNA，∴MD⊥BC，
∵BC∩PN=N，∴MD⊥平面PBN，
MN=$\sqrt{P{N}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{1}{2}PN•MD=\frac{1}{2}PM•MN$，∴MD=$\frac{PM•MN}{PN}$=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴三棱錐P-BMN的體積：
V_P-BMN=V_M-PBN=$\frac{1}{3}×{S}_{△PBN}×MD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．