Question

16．哈六中在2017年3月中旬舉辦了一次知識競賽，經(jīng)過層層篩選，最后五名同學(xué)進(jìn)入了總決賽．在進(jìn)行筆答題知識競賽中，最后一個大題是選做題，要求參加競賽的五名選手從2道題中選做一道進(jìn)行解答，假設(shè)這5位選手選做每一題的可能性均為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求其中甲乙2位選手選做同一道題的概率．
（Ⅱ）設(shè)這5位選手中選做第1題的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）利用相互獨立事件的概率公式，求出甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率；
（Ⅱ）確定X的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)事件A表示“甲選做第1題”，事件B表示“乙選做第1題”，
則“甲選做第2題”為$\overline{A}$，“乙選做第2題”為$\overline{B}$；
∴甲、乙2位選手選做同一道題的事件為“AB+$\overline{A}$$\overline{B}$”，且事件A、B相互獨立；
∴P（AB+$\overline{A}$$\overline{B}$）=P（A）P（B）+P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5，且X～B（5，$\frac{1}{2}$）；
∴P（X=k）=${C}_{5}^{k}$•${（\frac{1}{2}）}^{k}$•${（1-\frac{1}{2}）}^{5-k}$=${C}_{5}^{k}$•${（\frac{1}{2}）}^{5}$，k=0，1，2，3，4，5；
∴變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{32}$

X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{1}{32}$+1×$\frac{5}{32}$+2×$\frac{10}{32}$+3×$\frac{10}{32}$+4×$\frac{5}{32}$+5×$\frac{1}{32}$=$\frac{5}{2}$
（或EX=np=5×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查了概率知識的運用問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望計算問題，是中檔題．