Question

4．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點F，B分別是橢圓的右焦點與上頂點，O為坐標原點，記△OBF的周長與面積分別為C和S．
（Ⅰ）求$\frac{C}{\sqrt{S}}$的最小值；
（Ⅱ）如圖，過點F的直線l交橢圓于P，Q兩點，過點F作l的垂線，交直線x=3b于點R，當$\frac{C}{\sqrt{S}}$取最小值時，求$\frac{|FR|}{|PQ|}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\frac{C}{\sqrt{S}}$=$\frac{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}+b+c}{\sqrt{\frac{1}{2}bc}}=\sqrt{2}\frac{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}+b+c}{\sqrt{bc}}$≥$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2bc}+2\sqrt{bc}}{\sqrt{bc}}$=2+2$\sqrt{2}$，當且僅當b=c時，$\frac{C}{\sqrt{S}}$的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得當且僅當b=c時，$\frac{C}{\sqrt{S}}$的最小值為2+2$\sqrt{2}$．此時橢圓方程可化為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$
依題意可得過點F的直線l的斜率不能為0，故設(shè)直線l的方程為x=my+c．可得PQ=$\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}×\frac{\sqrt{8{c}^{2}（{m}^{2}+1）}}{2+{m}^{2}}$=2$\sqrt{2}c×\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$．設(shè)直線FR：y=-m（x-c），令x=3c得R（3c，-2mc）
|FR|=2c$\sqrt{{m}^{2}+1}$，$\frac{|FR|}{|PQ|}$=$2c\sqrt{{m}^{2}+1}×\frac{{m}^{2}+2}{2\sqrt{2}c（{m}^{2}+1）}=\frac{{m}^{2}+2}{\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}）$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}×2=\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）△OBF的周長C=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}+b+c$．△OBF的面積S=$\frac{1}{2}bc$．
$\frac{C}{\sqrt{S}}$=$\frac{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}+b+c}{\sqrt{\frac{1}{2}bc}}=\sqrt{2}\frac{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}+b+c}{\sqrt{bc}}$≥$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2bc}+2\sqrt{bc}}{\sqrt{bc}}$=2+2$\sqrt{2}$，
當且僅當b=c時，$\frac{C}{\sqrt{S}}$的最小值為2+2$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得當且僅當b=c時，$\frac{C}{\sqrt{S}}$的最小值為2+2$\sqrt{2}$．
此時橢圓方程可化為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$
依題意可得過點F的直線l的斜率不能為0，故設(shè)直線l的方程為x=my+c．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+c}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{c}^{2}}\end{array}\right.$，整理得：（2+m²）y²+2mcy-^_c2=0．
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2mc}{2+{m}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-{c}^{2}}{2+{m}^{2}}$
PQ=$\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}×\frac{\sqrt{8{c}^{2}（{m}^{2}+1）}}{2+{m}^{2}}$=2$\sqrt{2}c×\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$．
當m=0時，PQ垂直橫軸，F(xiàn)R與橫軸重合，此時|PQ|=$\sqrt{2}$c，|FR|=3b-c=2c，
$\frac{|FR|}{|PQ|}$=$\frac{2c}{\sqrt{2}c}=\sqrt{2}$．
當m≠0時，設(shè)直線FR：y=-m（x-c），令x=3c得R（3c，-2mc）
|FR|=2c$\sqrt{{m}^{2}+1}$
$\frac{|FR|}{|PQ|}$=$2c\sqrt{{m}^{2}+1}×\frac{{m}^{2}+2}{2\sqrt{2}c（{m}^{2}+1）}=\frac{{m}^{2}+2}{\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}）$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}×2=\sqrt{2}$
綜上所述：當且僅當m=0時，$\frac{|FR|}{|PQ|}$取最小值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，方程思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題，