【題目】設橢圓：（）的右焦點為，短軸的一個端點到的距離等于焦距．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設、是四條直線，所圍成的矩形在第一、第二象限的兩個頂點，是橢圓上任意一點，若，求證：為定值；

（3）過點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且滿足△與△的面積的比值為，求直線的方程．

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓焦點坐標求得，根據(jù)短軸端點到焦點的距離求得，由此求得，進而求得橢圓的標準方程.

（2）求得的坐標，設出點坐標，結(jié)合向量的坐標運算，由求得，也即求得點坐標，將其代入橢圓，化簡后證得為定值.

（3）將三角形和三角形的面積的比值，轉(zhuǎn)化為邊長的比值，即.當直線斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性可知，不符合題意.當直線的斜率不存在時，設出直線的方程.代入橢圓方程，化簡后寫出韋達定理.由，求得，代入韋達定理，由此解方程求得的值，進而求得直線的方程.

（1）由已知，，

又，故，

所以，，所以，橢圓的標準方程為．

（2），，

設，則，

由已知，即，

所以 ，所以，化簡得為定值．

（3）等價于，

當直線的斜率不存在時，，不合題意．

故直線的斜率存在，設：，

由消去，得，

設，，則①，②，

由，得，，將其代入①②，得③，④.將③代入④，化簡得，解得．

所以，直線的方程為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖一塊長方形區(qū)域，，，在邊的中點處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角始終為，設，探照燈照射在長方形內(nèi)部區(qū)域的面積為.

（1）當時，求關于的函數(shù)關系式；

（2）當時，求的最大值；

（3）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個來回”（自轉(zhuǎn)到，再回到，稱“一個來回”，忽略在及處所用的時間），且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定，設邊上有一點，且，求點在“一個來回”中被照到的時間.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】足球是世界普及率最高的運動，我國大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學校的發(fā)展狀況，社會調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份x

2014

2015

2016

2017

2018

足球特色學校y（百個）

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x的相關系數(shù)r，并說明y與x的線性相關性強弱.

（已知：，則認為y與x線性相關性很強；，則認為y與x線性相關性一般；，則認為y與x線性相關性較）：

（2）求y關于x的線性回歸方程，并預測A地區(qū)2020年足球特色學校的個數(shù)（精確到個）.

參考公式和數(shù)據(jù)：，

，

.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某班學生中喜愛看綜藝節(jié)目的有18人，體育節(jié)目的有27人，時政節(jié)目的有9人，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學生中抽取6名學生．

（Ⅰ）求應從喜愛看綜藝節(jié)目，體育節(jié)目，時政節(jié)目的學生中抽取的學生人數(shù)；

（Ⅱ）若從抽取的6名學生中隨機抽取2人分作一組，

（1）列出所有可能的結(jié)果；

（2）求抽取的2人中有1人喜愛綜藝節(jié)目1人喜愛體育節(jié)目的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)參加項目生產(chǎn)的工人為人，平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元.根據(jù)現(xiàn)實的需要，從項目中調(diào)出人參與項目的售后服務工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤萬元（），項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高

（1）若要保證項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加項目從事售后服務工作？

（2）在（1）的條件下，當從項目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時，才能使得項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界．

（1）設，判斷在上是否為有界函數(shù)，若是，請說明理由，并寫出的所有上界的集合；若不是，也請說明理由；

（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費用萬元滿足（其中，為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為元件．

（1）將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù)；

（2）促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）設橢圓與雙曲線有相同的焦點、，是橢圓與雙曲線的公共點，且△的周長為6，求橢圓的方程；我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”；

（2）如圖，已知“盾圓”的方程為，設“盾圓”上的任意一點到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；

（3）由拋物線弧（）與第（1）小題橢圓弧（）所合成的封閉曲線為“盾圓”，設過點的直線與“盾圓”交于、兩點，，，且（），試用表示，并求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，∥，，平面平面，且.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）已知點在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長．

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