Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；

（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間恒有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知方程在有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)的對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（2）先求得表達(dá)式，將函數(shù)在區(qū)間恒有意義，轉(zhuǎn)化為“對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立”，對(duì)分成兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.

（3）構(gòu)造函數(shù)，將寫(xiě)出分段函數(shù)的形式，對(duì)分成兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合在有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>在區(qū)間上不單調(diào)，則，解得

即的取值范圍；

（2）

函數(shù)在區(qū)間恒有意義，

等價(jià)于對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，（*）

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，與（*）式矛盾，不合題意

當(dāng)時(shí)，由可知，，，所以恒成立，即（*）成立

又在區(qū)間上實(shí)數(shù)必須滿足

綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（3）令

方程在有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)

因?yàn)?/span>且在處圖象不間斷

當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由于在單調(diào)，∴在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，并且

若有一個(gè)零點(diǎn)為0，則，于是，零點(diǎn)為或，所以滿足題意

若0不是函數(shù)零點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)有以下兩種情形：

①若，，

則.

②若，

則．

綜合①②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.