已知數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和為S
n,且a
n是S
n與2的等差中項(xiàng),數(shù)列{b
n}中,b
1=1,點(diǎn)P(b
n,b
n+1)在直線
上。
(1)求a
1和a
2的值;
(2)求數(shù)列{a
n},{b
n}的通項(xiàng)a
n和b
n;
(3)設(shè)c
n=a
n·b
n,求數(shù)列{c
n}的前n項(xiàng)和T
n.
解:(1)∵a
n是S
n與2的等差中項(xiàng) ∴S
n=2a
n-2 ∴a
1=S
1=2a
1-2,
解得a
1="2" a
1+a
2=S
2=2a
2-2,解得a
2="4"
(2)∵S
n=2a
n-2,S
n-1=2a
n-1-2,又S
n—S
n-1=a
n,
∴a
n=2a
n-2a
n-1,
又a
n≠0, ∴
,即數(shù)列{a
n}是等比數(shù)列
∵a
1=2,∴a
n=2
n ∵點(diǎn)P(b
n,b
n+1)在直線x-y+2=0上,∴b
n-b
n+1+2=0,
∴b
n+1-b
n=2,即數(shù)列{b
n}是等差數(shù)列,又b
1=1,∴b
n=2n-1,
(3)∵c
n=(2n-1)2
n ∴T
n=a
1b
1+ a
2b
2+····a
nb
n=1×2+3×2
2+5×2
3+····+(2n-1)2
n,
∴2T
n=1×2
2+3×2
3+····+(2n-3)2
n+(2n-1)2
n+1則 -T
n=1×2+(2×2
2+2×2
3+···+2×2
n)-(2n-1)2
n+1,
即:-T
n=1×2+(2
3+2
4+····+2
n+1)-(2n-1)2
n+1,
∴T
n=(2n-3)2
n+1+6
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小
題滿分14分)設(shè)奇函數(shù)
對任意
都有
求
和
的值;
數(shù)列
滿足:
=
+
,數(shù)列
是等差數(shù)列嗎?請
給予證明
;
設(shè)
與
為兩個給定的不同的正整數(shù),
是滿足(2)中條件的數(shù)列,
證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分15分)已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列
的前四項(xiàng)和
,且
成等比.
(Ⅰ)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)
為數(shù)列
的前n項(xiàng)和,若
對一切
恒成立,求實(shí)數(shù)
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,拋物線
第一象限部分上的一系列點(diǎn)
與y正半軸上的點(diǎn)
及原點(diǎn),構(gòu)成一系列正三角形
(記
為O),記
。
(1)求
的值;(2)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式
;
(3)求證:
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分)
數(shù)列
的首項(xiàng)
,前
項(xiàng)和為
,滿足關(guān)系
(
,
,
3,4…)
(1)求證:數(shù)列
為等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列
的公比為
,作數(shù)列
,使
,
.(
,3,4…)求
(3)求
…
的值
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(12分)
證明以下命題:
(Ⅰ)對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b<c),使得
成等差數(shù)列。
(Ⅱ)存在無窮多個互不相似的三角形△
,其邊長
為正整數(shù)且
成等差數(shù)列。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
數(shù)列{a
n}中,S
n是其前n項(xiàng)的和,若a
1=1,a
n+1=
S
n(n≥1),則a
n=
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知數(shù)列
的前n項(xiàng)和
,則
的值為
______
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)數(shù)列{
an}的前
n項(xiàng)和為
Sn,
a1=1,
Sn=
nan-2
n(
n-1).
(1)求數(shù)列{
an}的通項(xiàng)公式
an;
(2)設(shè)數(shù)列{
}的前
n項(xiàng)和為
Tn,
求證:
≤
Tn<
.
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