Question

8．已知關(guān)于x的方程x³+ax²+bx+c=0的三個實根分別為一個橢圓，一個拋物線，一個雙曲線的離心率，則$\frac{a}$的取值范圍（　�。�

• A． （-1，0）
• B． $（-1，-\frac{1}{2}）$
• C． $（-2，-\frac{1}{2}）$
• D． （-2，+∞）

Answer 1

分析 由題意可知：拋物線的離心率為1，則a+b+c=-1，整理可得f（x）=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b]，則g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，由橢圓及雙曲線離心率的取值范圍，求得g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0，畫出可行域，則$\frac{a}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點與原點連線的斜率，即可求得$\frac{a}$的取值范圍．

解答 解：令f（x）=x³+ax²+bx+c，
∵拋物線的離心率為1，則1是方程f（x）=x³+ax²+bx+c=0的一個實根，
∴a+b+c=-1，
∴c=-1-a-b，代入f（x）=x³+ax²+bx+c，
可得f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）
=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b]，
設(shè)g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，則g（x）=0的兩根滿足0＜x₁＜1，x₂＞1，
由韋達定理：x₁+x₂=-（a+1）＞0，則a＜-1，
x₁x₂=1+a+b，
∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0，
$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b=0}\\{3+2a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
作出可行域，如圖所示$\frac{a}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點與原點連線的斜率，
∴-2＜$\frac{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
故選C．

點評 本題考查圓錐曲線的離心率的取值范圍，二次函數(shù)的性質(zhì)，$\frac{a}$的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．