Question

16．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，AD=DC=PA=2，BC=4，E為PA的中點，M為棱BC上一點．
（Ⅰ）當(dāng)BM為何值時，有EM∥平面PCD；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求點P到平面DEM的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點F，連接EF，CF，推導(dǎo)出四邊形EMCF為平行四邊形，從而EM∥FC，由此推導(dǎo)出當(dāng)BM=3時，EM∥平面PCD．
（Ⅱ）設(shè)點P到平面DEM的距離為d，由V_A-DEM=V_E-AMD，能求出點P到平面DEM的距離．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)BM=3時，有EM∥平面PCD．
取PD中點F，連接EF，CF，
∵E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，
∴EF∥AD，且$EF=\frac{1}{2}AD=1$．
又∵梯形ABCD中，CM∥AD，且CM=1，
∴EF∥CM，且EF=CM，
∴四邊形EMCF為平行四邊形，
∴EM∥FC，
又∵EM?平面PCD，F(xiàn)C?平面PCD，∴EM∥平面PCD，
即當(dāng)BM=3時，EM∥平面PCD．
（Ⅱ）∵E為PA的中點，
∴點P到平面DEM的距離等于點A到平面DEM的距離，設(shè)點P到平面DEM的距離為d，
由已知可得，$AM=MD=ED=\sqrt{5}$，$EM=\sqrt{6}$，
∴S_△AMD=2，${S_{△DEM}}=\frac{{\sqrt{21}}}{2}$，
由V_A-DEM=V_E-AMD，得$\frac{1}{3}{S_{△DEM}}•d=\frac{1}{3}{S_{△AMD}}•EA$，
∴$d=\frac{{{S_{△AMD}}•EA}}{{{S_{△DEM}}}}=\frac{{4\sqrt{21}}}{21}$，
所以點P到平面DEM的距離為$\frac{{4\sqrt{21}}}{21}$．

點評 本題考查滿足線面平行的點的位置的確定與證明，考查點到平面的距離的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．