Question

12．已知過點(diǎn)A（0，1）的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，B為橢圓上的任意一點(diǎn)，且$\sqrt{3}$|BF₁|，|F₁F₂|，$\sqrt{3}$|BF₂|成等差數(shù)列．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：y=k（x+2）交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)A始終在以PQ為直徑的圓外，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用等差數(shù)列和橢圓的定義求出a、c的關(guān)系，再根據(jù)橢圓C過點(diǎn)A，求出a、b的值，即可寫出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據(jù)題意知x₁=-2，y₁=0；聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y，由方程的根與系數(shù)關(guān)系求得x₂、y₂，由點(diǎn)A在以PQ為直徑的圓外，得∠PAQ為銳角，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$＞0；由此列不等式求出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$|BF₁|，|F₁F₂|，$\sqrt{3}$|BF₂|成等差數(shù)列，
∴2|F₁F₂|=$\sqrt{3}$|BF₁|+$\sqrt{3}$|BF₂|=$\sqrt{3}$（|BF₁|+|BF₂|），
由橢圓定義得2•2c=$\sqrt{3}$•2a，
∴c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
又橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（0，1），
∴b=1；
∴c²=a²-b²=a²-1=$\frac{3}{4}$a²，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$；
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：
（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0；
依題意直線l：y=k（x+2）恒過點(diǎn)（-2，0），此點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，
∴x₁=-2，y₁=0，----①
由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，x₁+x₂=$\frac{-1{6k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$；-------②
可得y₁+y₂=k（x₁+2）+k（x₂+2）=k（x₁+x₂）+4k；----③
由①②③，解得x₂=$\frac{2-{8k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$，y₂=$\frac{4k}{1+{4k}^{2}}$；
由點(diǎn)A在以PQ為直徑的圓外，得∠PAQ為銳角，即$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$＞0；
由$\overrightarrow{AP}$=（-2，-1），$\overrightarrow{AQ}$=（x₂，y₂-1），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-2x₂-y₂+1＞0；
即$\frac{4-1{6k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$+$\frac{4k}{1+{4k}^{2}}$-1＜0，
整理得，20k²-4k-3＞0，
解得：k＜-$\frac{3}{10}$或k＞$\frac{1}{2}$，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＜-$\frac{3}{10}$或k＞$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查了函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了利用平面向量數(shù)量積求解幾何問題，是中檔題．