Question

9．已知數(shù)列{a_n} 滿足a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{2}{3}$，a_n+2-a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹（a_n+1-a_n）（n∈N^*），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₇=$\frac{4033}{3}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n} 滿足a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{2}{3}$，a_n+2-a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹（a_n+1-a_n）（n∈N^*），分類討論：n=2k（k∈N^*）時，可得a_2k+2=a_2k=$\frac{2}{3}$．n=2k-1（k∈N^*）時，可得a_2k+1+a_2k-1=2a_2k=$\frac{4}{3}$．即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n} 滿足a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{2}{3}$，a_n+2-a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹（a_n+1-a_n）（n∈N^*），
∴n=2k（k∈N^*）時，a_2k+2-a_2k+1=-a_2k+1+a_2k，即a_2k+2=a_2k=$\frac{2}{3}$．
n=2k-1（k∈N^*）時，a_2k+1-a_2k=a_2k-a_2k-1，可得a_2k+1+a_2k-1=2a_2k=$\frac{4}{3}$．
∴S₂₀₁₇=a₁+（a₃+a₅）+…+（a₂₀₁₅+a₂₀₁₇）+a₂+a₄+…+a₂₀₁₆
=$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3}$×504+$\frac{2}{3}×1008$
=$\frac{4033}{3}$．
故答案為：$\frac{4033}{3}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、分組求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．