Question

1．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），過雙曲線右焦點F傾斜角為$\frac{π}{4}$直線與該雙曲線的漸近線分別交于M、N，O為坐標(biāo)原點，若△OMF與△ONF的面積比等于2：1，則該雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． $\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{10}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{3}$或$\sqrt{10}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{3}$

Answer 1

分析 先求出栓曲線的漸近線方程直線方程，求出M，N的縱坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積比得到a與b的關(guān)系，根據(jù)離心率公式計算即可．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)直線方程為y=x-c，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$
解得y_M=$\frac{bc}{a-b}$，y_N=-$\frac{bc}{a+b}$，
∵△OMF與△ONF的面積比等于2：1，
若a＞b，
∴$\frac{bc}{a-b}$：$\frac{bc}{a+b}$=2：1，
∴a=3b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$
若a＜b，
∴$\frac{bc}{b-a}$：$\frac{bc}{a+b}$=2：1，
∴3a=b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{10}$，
故選：C

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)以及離心率的求法，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題