Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C₁=$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)到點(diǎn)P（-1，0）的最小距離為1，且橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與橢圓C交于點(diǎn)M、N，且△MON的面積為$\sqrt{3}$，問(wèn)|OM|²+|ON|²是否為定值？若是，求出該定值，并求出sin∠MON的最小值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率公式求得a，b和c的關(guān)系，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得c的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得m²=$\frac{3}{2}$+2k²，則|OM|²+|ON|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²，代入即可求得|OM|²+|ON|²為定值，定值為7，利用基本不等式性質(zhì)及正弦定理即可求得sin∠MON的最小值．

解答 解：（1）由題意的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，則b²=a²-c²=3c²，
則橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，設(shè)Q（2ccosθ，$\sqrt{3}$csinθ），
則丨PQ丨²=（2ccosθ+1）²+（$\sqrt{3}$csinθ）²=c²cos²θ+4ccosθ+3c²+1，
由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知cosθ=-1時(shí)，取最小值，
最小值為4c²-4c+1=1，解得：c=1，c=0（舍去），
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程x=m，代入橢圓方程解得：y²=$\frac{3（4-{m}^{2}）}{4}$，
由△MON的面積S=$\frac{1}{2}$×丨m丨×2丨y丨=$\sqrt{3}$，解得：m=±$\sqrt{2}$，
∴丨OM丨²+丨ON丨²=2（x²+y²）=7，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由直線l：y=kx+m，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由△＞0，得4k²-m²+3＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{\sqrt{48（3-{m}^{2}+4{k}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$，
原點(diǎn)到直線的距離d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
△MON的面積S，S=$\frac{1}{2}$×丨MN丨×d=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{\sqrt{48（3-{m}^{2}+4{k}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$×$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
兩邊平方得：4m²[（3+4k²）-m²+4k²]=（3+4k²）²，
則（3+4k²）²-4m²（3+4k²）+4m⁴=0，則（3+4k²-2m²）²=0，
解得：m²=$\frac{3}{2}$+2k²，
|OM|²+|ON|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+（y₁+y₂）²-2y₁y₂=（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）²-2×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+（$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$）²-2×$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{（8{k}^{2}-6）{m}^{2}+168{k}^{2}+96{k}^{4}+72}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$，
由m²=$\frac{3}{2}$+2k²，代入求得|OM|²+|ON|²=7，
∴|OM|²+|ON|²為定值，定值為7，
綜上可知：丨OM丨²+丨ON丨²為定值，定值為7，
|OM|²+|ON|²≥2丨OM丨×丨ON丨，則丨OM丨×丨ON丨≤$\frac{丨OM{丨}^{2}+丨ON{丨}^{2}}{2}$=$\frac{7}{2}$，
由S=$\frac{1}{2}$×丨OM丨×丨ON丨sin∠MON=$\sqrt{3}$，
∴sin∠MON=$\frac{2\sqrt{3}}{丨OM丨丨ON丨}$≥$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{7}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sin∠MON的最小值$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，考查正弦定理及基本不等式性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于難題．