Question

17．已知三棱錐A-BCD中，AB=AC=3，BD=CD=$\sqrt{2}$點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的投影恰好為DE的中點(diǎn)，則此三棱錐外接球的表面積為$\frac{60π}{11}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的投影點(diǎn)為點(diǎn)M，可知△BCD為直角三角形，則三棱錐的外接球球心一定在過(guò)點(diǎn)E且垂直于平面BCD的直線(xiàn)上，設(shè)球心為O．單獨(dú)看平面AED，如圖乙，故AO=DO=R，OE=$\sqrt{{R}^{2}-1}，AF=\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{4}}$，又EO+AF=FM+AF=AM=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，即$\sqrt{{R}^{2}-1}+\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$，解得R即可

解答 解：如圖5甲所示，因?yàn)锳B=AC=BC=2，∴AE=$\sqrt{3}$．
設(shè)點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的投影點(diǎn)為點(diǎn)M，∵BC=2，BD=CD=$\sqrt{2}$，故△BCD為直角三角形，
∵BE=$\frac{1}{2}BC$，M為中點(diǎn)，∴DM=ME=$\frac{1}{2}$，故AM=$\sqrt{3-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$．
又因?yàn)椤鰾CD為直角三角形，則三棱錐的外接球球心一定在過(guò)點(diǎn)E且垂直于平面BCD的直線(xiàn)上，
設(shè)球心為O．單獨(dú)看平面AED，如圖乙，故AO=DO=R，OE=$\sqrt{{R}^{2}-1}，AF=\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{4}}$，
又EO+AF=FM+AF=AM=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，即$\sqrt{{R}^{2}-1}+\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$，解得R${R}^{2}=\frac{15}{11}$，
故表面積S=4$π{R}^{2}=\frac{60π}{11}$．
故答案為：$\frac{60π}{11}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積球內(nèi)接多面體及其度量，考查空間想象能力，計(jì)算能力，解答的關(guān)鍵是根據(jù)球的性質(zhì)，找到球心，求出半徑，屬于中檔題．