Question

函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）若不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于f（x）=1-

2

2x+1

，當(dāng)x增大時(shí)，

2

2x+1

的值減小，f（x）的值增大，可得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

解答： 解：（1）∵f（x）=1-

2

2x+1

，當(dāng)x增大時(shí)，

2

2x+1

的值減小，f（x）的值增大，
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1((2x2+1)

，
∵x₁＞x₂，∴2x1＞2x2，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（2）∵函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0變形為f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）
∵函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
∴1-m＜m²-1，
解得m的求值范圍是（-∞，-2）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定以及利用奇偶性和單調(diào)性解抽象不等式．