Question

3．已知實(shí)數(shù)u，v，x，y滿(mǎn)足u²+v²=1，$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ x-2y+2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$，則z=ux+vy的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 畫(huà)出約束條件的可行域，求出角點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角代換求解目標(biāo)函數(shù)的最大值即可．

解答 解：約束條件的$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ x-2y+2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$可行域如圖三角形區(qū)域：A（2，1），B（2，-1），C（0，1），u²+v²=1
設(shè)u=sinθ，v=cosθ，
目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)A時(shí)，z=2sinθ+2cosθ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）$≤2\sqrt{2}$．
目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)B時(shí)，z=2sinθ-cosθ=$\sqrt{5}$sin（θ+β）$≤\sqrt{5}$．（其中tanβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．
目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)C時(shí)，z=sinθ≤1．
所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為：2$\sqrt{2}$．
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，“角點(diǎn)法”以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求解最值是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．