Question

3．已知實數(shù)u，v，x，y滿足u²+v²=1，$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ x-2y+2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$，則z=ux+vy的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，求出角點坐標，利用三角代換求解目標函數(shù)的最大值即可．

解答 解：約束條件的$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ x-2y+2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$可行域如圖三角形區(qū)域：A（2，1），B（2，-1），C（0，1），u²+v²=1
設(shè)u=sinθ，v=cosθ，
目標函數(shù)經(jīng)過A時，z=2sinθ+2cosθ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）$≤2\sqrt{2}$．
目標函數(shù)經(jīng)過B時，z=2sinθ-cosθ=$\sqrt{5}$sin（θ+β）$≤\sqrt{5}$．（其中tanβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．
目標函數(shù)經(jīng)過C時，z=sinθ≤1．
所以目標函數(shù)的最大值為：2$\sqrt{2}$．
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，“角點法”以及三角函數(shù)的化簡求解最值是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．