Question

5．若關(guān)于x的方程$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$=mx+m-1有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$）
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=mx+m-1，f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，在同一坐標(biāo)系中作出二函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：令g（x）=mx+m-1，f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，
∵方程mx+3m=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$有兩個不同的實數(shù)解，
∴g（x）=mx+m-1與f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$有兩個不同的交點，
在同一坐標(biāo)系中作圖如下：

∵g（x）=mx+m-1為過定點（-1，-1）的直線，
當(dāng)直線g（x）=mx+m-1經(jīng)過（1，0），即m=$\frac{1}{2}$時，
顯然g（x）=mx+m-1與f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$有兩個不同的交點；
當(dāng)直線g（x）=mx+m-1與曲線f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$相切時，
$\frac{|2m+m-1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=1$，解得m=$\frac{3}{4}$或m=0（舍），
∴m∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
故選：B

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題