Question

17．已知雙曲線Γ₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，橢圓Γ₂：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的離心率為e，直線MN過F₂與雙曲線交于M，N兩點，若cos∠F₁MN=cos∠F₁F₂M，$\frac{|{F}_{1}M|}{|{F}_{1}N|}$=e，則雙曲線Γ₁的兩條漸近線的傾斜角分別為（　�。�

• A． 30°或150°
• B． 45°或135°
• C． 60°或120°
• D． 15°或165°

Answer 1

分析 用a，b，c表示出MF₁，MF₂，NF₁，NF₂，利用余弦定理計算cos∠F₁F₂M和cos∠F₁F₂N，由∠F₁F₂M+∠F₁F₂N=0計算出離心率e₁，得出a和b的關(guān)系即可得出答案．

解答 解：∵cos∠F₁MN=cos∠F₁F₂M，
∴∠F₁MN=∠F₁F₂M，
∴|MF₁|=|F₁F₂|=2c，
由雙曲線的定義可得|MF₂|=|MF₁|-2a=2c-2a，
∵橢圓Γ₂：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的離心率為e=$\frac{\sqrt{8-6}}{\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|{F}_{1}M|}{|{F}_{1}N|}$=$\frac{1}{2}$，∴|NF₁|=4c，|NF₂|=4c-2a，
在△MF₁F₂中，由余弦定理的
cos∠F₁F₂M=$\frac{4{c}^{2}+（2c-2a）^{2}-4{c}^{2}}{2×2c×（2c-2a）}$=$\frac{c-a}{2c}$，
在△NF₁F₂中，由余弦定理的cos∠F₁F₂N=$\frac{4{c}^{2}+（4c-2a）^{2}-16{c}^{2}}{2×2c×（4c-2a）}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4ac}{2c（2c-a）}$，
∵∠F₁F₂M+∠F₁F₂N=π，
∴cos∠F₁F₂M+cos∠F₁F₂N=0，即$\frac{c-a}{2c}$+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4ac}{2c（2c-a）}$=0，
整理得2a²+3c²-7ac=0，設(shè)雙曲線的離心率為e₁，
∴3e₁²-7e₁+2=0，解得e₁=2或$\frac{1}{3}$（舍）．
∴$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=4，∴3a²=b²，即$\frac{a}$=$\sqrt{3}$．
∴雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，
∴漸近線的傾斜角為60°和120°．
故選C．

點評 本題考查了雙曲線的定義，離心率計算，余弦定理，屬于中檔題．