Question

17．某市高二年級學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)競賽，競賽分為初賽和決賽，規(guī)定成績在110分及110分以上的學(xué)生進(jìn)入決賽，110分以下的學(xué)生則被淘汰，現(xiàn)隨機(jī)抽取500名學(xué)生的初賽成績按[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]做成頻率副本直方圖，如圖所示：（假設(shè)成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的）
（1）求這500名學(xué)生中進(jìn)入決賽的人數(shù)，及進(jìn)入決賽學(xué)生的平均分（結(jié)果保留一位小數(shù)）；
（2）用頻率估計(jì)概率，在全市進(jìn)入決賽的學(xué)生中選取三人，其中成績在[130，150]的學(xué)生數(shù)為X，試寫出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望及方差．

Answer 1

分析 （1）由題意和頻率分布直方圖列出方程，求出a，由此能求出這500名學(xué)生中進(jìn)入決賽的人數(shù)，及進(jìn)入決賽學(xué)生的平均分．
（2）成績在130分以上的學(xué)生數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其可能取值為0，1，2，3，X～B（3，$\frac{1}{3}$），由此能求出X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．

解答 解：（1）由題意和頻率分布直方圖，得：
$\frac{500}{500×20}=0.014$4+0.0128+0.0112+0.0056+0.0040+a，
解得a=0.0020，
∴這500名學(xué)生中進(jìn)入決賽的人數(shù)為：（0.0040+0.0020）×500×20=60，
進(jìn)入決賽學(xué)生的平均分為：
40×0.0056×20+60×0.0128×20+80×0.0144×20+100×0.0112×20+120×0.0040×20+140×0.0020×20=80.48≈80.5，
∴這500名學(xué)生中有60人進(jìn)入決賽，進(jìn)入決賽學(xué)生的平均分為80.5分．
（2）∵進(jìn)入決賽的60名學(xué)生中，成績在130分以上的學(xué)生有20人，
用頻率估計(jì)概率，則學(xué)生成績在[110，130）之間的概率為$\frac{2}{3}$，
在[130，150]之間的概率為$\frac{1}{3}$，
成績在130分以上的學(xué)生數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=${C}_{3}^{0}×（\frac{2}{3}）^{3}×（\frac{1}{3}）^{0}=\frac{8}{27}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}×（\frac{2}{3}）^{2}×（\frac{1}{3}）=\frac{12}{27}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×（\frac{2}{3}）×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{0}（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{1}{27}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

∵X～B（3，$\frac{1}{3}$），
∴E（X）=3×$\frac{1}{3}$=1，
D（X）=3×$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．