Question

20．某農(nóng)場(chǎng)在冬季進(jìn)行一次菌種培養(yǎng)需要5天時(shí)間，5天內(nèi)每天發(fā)生低溫凍害的概率均為$\frac{1}{3}$．如果5天內(nèi)沒(méi)有發(fā)生凍害，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元，有一天發(fā)生凍害可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元，有兩天發(fā)生凍害可獲利潤(rùn)0萬(wàn)元，而發(fā)生3天或3天以上凍害則損失2萬(wàn)元．
（1）求一次菌種培養(yǎng)不出現(xiàn)虧損的概率；
（2）求一次菌種培養(yǎng)獲得利潤(rùn)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)一次菌中培養(yǎng)發(fā)生3天或3天以上凍害的事件為A，利用n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式求出P（A），由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出一次菌種培養(yǎng)不出現(xiàn)虧損的概率．
（2）一次菌種培養(yǎng)獲得利潤(rùn)ξ的可能取值為10，5，0，-2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出一次菌種培養(yǎng)獲得利潤(rùn)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)一次菌中培養(yǎng)發(fā)生3天或3天以上凍害的事件為A，
則P（A）=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{3}$+${C}_{5}^{4}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{4}$+${C}_{5}^{5}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{51}{243}$，
∴一次菌種培養(yǎng)不出現(xiàn)虧損的概率：
p=1-P（A）=1-$\frac{51}{243}$=$\frac{192}{243}$．
（2）一次菌種培養(yǎng)獲得利潤(rùn)ξ的可能取值為10，5，0，-2，
P（ξ=10）=${C}_{5}^{0}（\frac{2}{3}）^{5}$=$\frac{32}{243}$，
P（ξ=5）=${C}_{5}^{1}（\frac{2}{3}）^{4}（\frac{1}{3}）$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=0）=${C}_{5}^{2}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{80}{243}$，
P（ξ=-2）=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{3}$+${C}_{5}^{4}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{4}$+${C}_{5}^{5}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{51}{243}$，
∴一次菌種培養(yǎng)獲得利潤(rùn)ξ的分布列為：

ξ	10	5	0	-2
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{51}{243}$

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=$10×\frac{32}{243}$+5×$\frac{80}{243}$+0×$\frac{80}{243}$+（-2）×$\frac{51}{243}$=$\frac{206}{81}$（萬(wàn)元）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．