Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sinx-3x，若對(duì)任意m∈[-2，2]，f（ma-3）+f（a²）＞0的恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，1）
• B． （-∞，-1）∪（3，+∞）
• C． （-3，3）
• D． （-∞，-3）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 先利用定義、導(dǎo)數(shù)分別判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，然后利用函數(shù)的性質(zhì)可去掉不等式中的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化具體不等式，借助一次函數(shù)的性質(zhì)可得a的不等式組，解出可得答案．

解答 解：∵f（-x）=2sin（-x）-3（-x）=-（2sinx-3x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，
又f'（x）=2cosx-3＜0，∴f（x）單調(diào)遞減，
f（ma-3）+f（a²）＞0可化為f（ma-3）＞-f（a²）=f（-a²），
由f（x）遞減知ma-3＜-a²，即ma+a²-3＜0，
∴對(duì)任意的m∈[-2，2]，f（ma-3）+f（a²）＞0恒成立，
等價(jià)于對(duì)任意的m∈[-2，2]，ma+a²-3＜0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2a+{a}^{2}-3＜0}\\{2a+{a}^{2}-3＜0}\end{array}\right.$，解得-1＜a＜1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，是中檔題．