Question

17．已知曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程是ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲線C₁與C₂交點的平面直角坐標；
（Ⅱ）A，B兩點分別在曲線C₁與C₂上，當|AB|最大時，求△OAB的面積（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲線C₁，C₁的平面直角坐標方程，把兩式作差，得y=-x，代入x²+y²=4y，能求出曲線C₁與C₂交點的平面直角坐標．
（Ⅱ）作出圖形，由平面幾何知識求出當|AB|最大時|AB|=2$\sqrt{2}+4$，O到AB的距離為$\sqrt{2}$，由此能求出△OAB的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C₁的平面直角坐標方程為（x+2）²+y²=4．
又由曲線C₂的極坐標方程是ρ=4sinθ，
得ρ²=4ρsinθ，∴x²+y²=4y，
把兩式作差，得y=-x，
代入x²+y²=4y，得2x²+4x=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴曲線C₁與C₂交點的平面直角坐標為（0，0），（-2，2）．
（Ⅱ）如圖，由平面幾何知識可知：
當A，C₁，C₂，B依次排列且共線時，
|AB|最大，此時|AB|=2$\sqrt{2}+4$，
O到AB的距離為$\sqrt{2}$，
∴△OAB的面積為S=$\frac{1}{2}（2\sqrt{2}+4）•\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$．

點評 本題考查兩曲線交點的平面直角坐標的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標方程、極坐標方程間的相互轉(zhuǎn)化及應(yīng)用．