Question

20．橢圓$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1（a＞1）與雙曲線$\frac{{y}^{2}}$-y²=1（b＞0）有相同的焦點F₁、F₂，若P為兩曲線的一個交點，則△PF₁F₂的面積為（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由橢圓及雙曲線的定義，求得|PF₁|=$\sqrt{a}$+$\sqrt$，|PF₂|=$\sqrt{a}$-$\sqrt$，由a-1=b+1，求得a-b=2，利用余弦定理求得cos∠F₁PF₂=0，則∠F₁PF₂=90°，根據(jù)三角形的面積公式求得△PF₁F₂的面積．

解答 解：由題意，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt$，|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{a}$，
∴|PF₁|=$\sqrt{a}$+$\sqrt$，|PF₂|=$\sqrt{a}$-$\sqrt$，
∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1與雙曲線$\frac{{y}^{2}}$-y²=1有相同的焦點
∴a-1=b+1
∴a-b=2
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{2b+2a-4（a-1）}{2（\sqrt+\sqrt{a}）（\sqrt-\sqrt{a}）}$=$\frac{2b+2a-4a+4}{2（a-b）}$=$\frac{0}{2×2}$=0
∴∠F₁PF₂=90°
∴△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=$\frac{1}{2}$（a-b）=1，
∴△PF₁F₂的面積1，
故選：D．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的定義，考查余弦定理的運用，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．